一、求和符號(hào)的使用

Latex中求和符號(hào)是使用$\sum$表示，它用來(lái)表示一系列數(shù)值的總和。

例如，要表示1到10的整數(shù)和：

$$\sum_{i=1}^{10}i$$

其中$\sum$表示求和，下標(biāo)$i=1$表示從1開(kāi)始累加的變量，上標(biāo)10表示到10結(jié)束。則上式的結(jié)果為：

$$1+2+3+...+10=55$$

如果是求平方和，則可以這樣表示：

$$\sum_{i=1}^{10}i^2$$

則上式的結(jié)果為：

$$1^2+2^2+3^2+...+10^2=385$$

除了使用整數(shù)作為下標(biāo)外，還可以使用字母作為下標(biāo):

$$\sum_{k=1}^{n}f(k)$$

其中$f(k)$表示下標(biāo)為k的項(xiàng)。

二、多重求和符號(hào)

當(dāng)需要求解多維數(shù)組的總和時(shí)，就需要使用多重求和符號(hào)$\sum\sum$，甚至還可以使用更高維度的求和符號(hào)。

例如，一個(gè)二維數(shù)組$A_{m\times n}$，它的所有元素的和可以寫(xiě)成：

$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}$$

其中$i$表示行的編號(hào)，$j$表示列的編號(hào)。更高維度的求和符號(hào)也類(lèi)似。

三、求和符號(hào)的屬性

1、求和符號(hào)可以交換位置

對(duì)于一串求和式子，求和符號(hào)可以交換位置，例如：

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i,j}$$

上式的意思是，先按行求和再按列求和得到的結(jié)果，和先按列求和再按行求和的結(jié)果相等。

2、求和符號(hào)可以分配系數(shù)

對(duì)于一串求和式子，可以將某個(gè)常數(shù)提到求和符號(hào)外面，例如：

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i) = \sum_{i=1}^{n}a_i + \sum_{i=1}^{n}b_i$$

上式的意思是，將$a_i$和$b_i$的和再求和，得到的結(jié)果等于先將$a_i$求和得到的結(jié)果加上$b_i$求和得到的結(jié)果。

3、求和符號(hào)可以去掉常數(shù)項(xiàng)

如果一串求和式子的每一項(xiàng)都都同加上一個(gè)常數(shù)$c$，則可以將這個(gè)常數(shù)項(xiàng)提到求和符號(hào)外，例如：

$$\sum_{i=1}^{n}(a_i + c) = \sum_{i=1}^{n}a_i + nc$$

上式的意思是，求和時(shí)，將$a_i$的和再加上$n$個(gè)$c$。

四、應(yīng)用舉例

1、利用求和符號(hào)求解逆序?qū)?wèn)題

對(duì)于一個(gè)長(zhǎng)度為$n$的數(shù)組$A$，逆序?qū)χ傅氖菨M(mǎn)足$iA_j$的二元組$(i,j)$的數(shù)量。

使用求和符號(hào)，可以較為簡(jiǎn)潔地求解逆序?qū)?wèn)題，代碼如下：

$$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}[A_i>A_j]$$

其中$[A_i>A_j]$是一個(gè)布爾值，表示$A_i>A_j$時(shí)取值為1，否則為0。則上式的結(jié)果即為逆序?qū)Φ臄?shù)量。

2、離散化問(wèn)題

對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其取值分布可能較廣，難以進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，甚至可能會(huì)出現(xiàn)“指數(shù)級(jí)圖像”，無(wú)法利用數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

離散化是一種將連續(xù)型的數(shù)據(jù)映射到有限的幾個(gè)數(shù)值上的方法。其原理是先將數(shù)據(jù)排序，然后將每個(gè)數(shù)據(jù)映射到其在排好序后的順序。

應(yīng)用求和符號(hào)可以輕松地進(jìn)行離散化，代碼如下：

$$ans_i=\sum_{j=1}^{n}[A_j

其中$[A_j

3、利用矩陣乘法實(shí)現(xiàn)快速矩陣求和
對(duì)于一個(gè)矩陣$A_{m\times n}$，求解其中所有元素的和可以分別對(duì)每行求和，然后再對(duì)每行的和求和，即：
$$\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}=\sum_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}\right)$$

但是這個(gè)過(guò)程中，需要將每一行的元素相加。
可以利用矩陣乘法的思路，可以構(gòu)造一個(gè)大小為$1\times n$的矩陣$B$，其中每個(gè)元素都是1，然后將矩陣$A$乘上矩陣$B$，得到的矩陣即為每行元素之和，最后將矩陣$B$的元素之和即為矩陣$A$的所有元素之和。
代碼如下：
$$ans=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}=\sum_{i=1}^{m}\left[\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}\right]=\sum_{i=1}^{m}\left[\begin{matrix}1&1&\cdots&1\end{matrix}\begin{matrix}A_{i,1}\\A_{i,2}\\\vdots\\A_{i,n}\end{matrix}\right]=\begin{matrix}1&1&\cdots&1\end{matrix}A_{m\times n}$$

其中，$A_{m\times n}$與$B_{1\times n}$相乘得到的結(jié)果是一個(gè)$1\times 1$的矩陣，即$A_{m\times n}$的所有元素之和。