一、可持久化的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

1.可持久化線段樹

對(duì)于實(shí)現(xiàn)可持久化的方法，我們最容易想到的就是開一個(gè) O(N2) 的空間，把所有版本都存儲(chǔ)下來。但這樣顯然會(huì)有很多空間是浪費(fèi)的，因?yàn)橄噍^于被修改的部分來說，兩個(gè)版本之間完全相同的部分顯然會(huì)更多。與線性結(jié)構(gòu)相比，樹型結(jié)構(gòu)更擅長幫助我們分清楚這兩個(gè)部分，而樹形結(jié)構(gòu)中最擅長處理這種修改查詢問題的就是線段樹。所以我們先介紹一下利用可持久化線段樹實(shí)現(xiàn)可持久化數(shù)組。

2.可持久化塊狀數(shù)組

回憶線段樹的修改流程，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)所有的操作都只跟一條鏈有關(guān) (下放lazytag是個(gè)例外，但也跟一條鏈差不多) ，因此我們?cè)谏尚掳姹镜臅r(shí)候，對(duì)于未修改的點(diǎn)可以直接使用舊版本的節(jié)點(diǎn)，只有發(fā)生修改的點(diǎn)才需要新建一個(gè)新節(jié)點(diǎn)來代替舊節(jié)點(diǎn)，這樣空間復(fù)雜度就可以降到 O(NlogN) ，而修改查詢這些都不會(huì)收到影響。

3. 可持久化并查集

寫作并查集，前置知識(shí)卻是利用可持久化線段樹實(shí)現(xiàn)可持久化數(shù)組，過分！回顧并查集，其實(shí)不過是一個(gè) fa[a] = b，為了可持久化，我們就用可持久化數(shù)組來維護(hù) fa[i]。注意這里不能再使用路徑壓縮了，道理很簡單，可持久化要盡可能減少修改的次數(shù)。但是我們依然保留了一種優(yōu)化方式：在維護(hù) fa[i] 的同時(shí)維護(hù)一個(gè) dep[i] ，表示這個(gè)節(jié)點(diǎn)的深度，保證在合并時(shí)是深度較小的點(diǎn)向深度較大的點(diǎn)合并即可。

4.可持久化字典樹

依舊與可持久化線段樹的思想類似，這里的可持久化主要體現(xiàn)在插入新串，這個(gè)插入過程影響的節(jié)點(diǎn)數(shù)量也是O(logN)的，因此插入時(shí)像線段樹一樣生成一個(gè)新的鏈即可。

5.可持久化分塊

利用和可持久化線段樹相似的思想，將每塊都編好序號(hào)，用一個(gè) O(√n) 的數(shù)組來記錄一個(gè)版本的所有塊。當(dāng)一個(gè)塊要被修改時(shí)，新建一個(gè)值為修改后的塊的新塊，用一個(gè)新數(shù)組保存新版本所有的塊編號(hào)即可。

延伸閱讀：

二、可持久化數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)原理

可持久化：將數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的所有歷史版本記錄下來，稱為可持久化。

不是所有的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)都是可以持久化的，可持久化的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)要求其結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，比如堆（是一顆滿二叉樹，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定）、樹狀數(shù)組、trie（字典樹）、線段樹等。平衡樹就不可以進(jìn)行持久化操作，因?yàn)槠浯嬖谧笮⒂倚牟僮鳌?/p>

存下來所有的歷史版本有兩種方式，一種是每改動(dòng)一次則全部備份下來；另一種是增量備份。名列前茅種方式時(shí)空復(fù)雜度都比較高，不使用這種方式，我們這里只講解增量備份的方式（類似于git）。

增量備份的核心思想是：只記錄每個(gè)版本與前一個(gè)版本不同的部分。