一、最長上升子序列空優異解
最長上升子序列(Longest Increasing Subsequence,LIS)問題是在給定序列中找到一個最長的子序列,使得子序列中的元素是嚴格遞增的。在求解LIS問題時,我們可以使用不同的算法,這些算法在時間復雜度和空間復雜度方面具有不同的性能。
1、動態規劃解法
動態規劃(Dynamic Programming,DP)是解決LIS問題的常用方法之一。我們可以定義一個一維數組dp,其中dp[i]表示以第i個元素結尾的最長上升子序列的長度。通過遍歷序列中的每個元素,我們可以找到以當前元素結尾的最長上升子序列。最后,整個序列的LIS長度等于dp數組中的最大值。
時間復雜度:動態規劃解法的時間復雜度為O(n^2),其中n為序列的長度。這是因為我們需要遍歷序列中的每個元素,同時對于每個元素,我們還需要遍歷其之前的所有元素以更新dp數組。
空間復雜度:動態規劃解法的空間復雜度為O(n),因為我們需要一個長度為n的dp數組來存儲以每個元素結尾的最長上升子序列的長度。
2、基于二分查找的優化解法
在求解LIS問題時,我們還可以利用二分查找來優化時間復雜度。我們可以定義一個數組tails,其中tails[i]表示長度為i+1的上升子序列的最小末尾元素。通過遍歷序列中的每個元素,并更新tails數組,我們可以找到最長的上升子序列。
時間復雜度:基于二分查找的優化解法的時間復雜度為O(nlogn),其中n為序列的長度。這是因為我們需要遍歷序列中的每個元素,同時對于每個元素,我們還需要進行O(logn)的二分查找操作以更新tails數組。
空間復雜度:基于二分查找的優化解法的空間復雜度為O(n),因為我們需要一個長度為n的tails數組來存儲長度為i+1的上升子序列的最小末尾元素。