一、樹狀數(shù)組的原理
原理
樹狀數(shù)組的原理是,樹狀數(shù)組為了節(jié)省空間,刪去了不必要的結(jié)點(diǎn),將結(jié)點(diǎn)數(shù)壓縮到與數(shù)組長度相同。方案是這樣的:數(shù)組的每個位置代表其在圖中垂直向上追溯可以達(dá)到的較高的結(jié)點(diǎn)。
樹狀數(shù)組可以解決什么問題
可以解決大部分區(qū)間上面的修改以及查詢的問題,例如1.單點(diǎn)修改,單點(diǎn)查詢,2.區(qū)間修改,單點(diǎn)查詢,3.區(qū)間查詢,區(qū)間修改,換言之,線段樹能解決的問題,樹狀數(shù)組大部分也可以,但是并不一定都能解決,因為線段樹的擴(kuò)展性比樹狀數(shù)組要強(qiáng)。
樹狀數(shù)組和線段樹的區(qū)別在哪
有人會問了既然線段樹的問題能夠用樹狀數(shù)組解決而且線段樹還比樹狀數(shù)組擴(kuò)展性強(qiáng),那為什么不直接用線段樹呢?問的很好,樹狀數(shù)組的作用就是為了簡化線段樹,舉個例子:一個問題可以用線段樹解決寫代碼半個小時,但是用樹狀數(shù)組只需要10分鐘,那么你會選擇哪一個算法呢?沒錯,基于某些簡單的問題,我們沒必要用到功能性強(qiáng)但實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的線段樹(殺雞焉用宰牛刀)。
優(yōu)缺點(diǎn)
優(yōu)點(diǎn):修改和查詢操作復(fù)雜度于線段樹一樣都是logN,但是常數(shù)比線段樹小,并且實(shí)現(xiàn)比線段樹簡單
缺點(diǎn):擴(kuò)展性弱,線段樹能解決的問題,樹狀數(shù)組不一定能解決。
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二、完全二叉樹
完全二叉樹是一種特殊的二叉樹,滿足以下要求:
所有葉子節(jié)點(diǎn)都出現(xiàn)在 k 或者 k-1 層,而且從 1 到 k-1 層必須達(dá)到最大節(jié)點(diǎn)數(shù);第 k 層可以不是滿的,但是第 k 層的所有節(jié)點(diǎn)必須集中在最左邊。?需要注意的是不要把完全二叉樹和“滿二叉樹”搞混了,完全二叉樹不要求所有樹都有左右子樹,但它要求:任何一個節(jié)點(diǎn)不能只有左子樹沒有右子樹;葉子節(jié)點(diǎn)出現(xiàn)在最后一層或者倒數(shù)第二層,不能再往上。